Maciej Zakarczemny

Kontynuujemy badania nad generalizacją algorytmu sitowego browkina i Cao, [a. Tomski, m. Zakarczemny, On some cancellation algorithms, nnTDm. 23, 2017, p. 101–114]. niech f będzie funkcją o wartościach w zbiorze liczb naturalnych, określoną na s s , ≥1. usuwamy dzielniki wszystkich możliwych wartości funkcji f, w punktach, w których suma współrzędnych nie przekracza n. najmniejszą niewykreśloną liczbę naturalną nazywamy dyskryminatorem Df(n). W artykule uogólniamy pojęcie dyskryminatora. Znajdujemy jawne wzory lub oszacowania na dyskryminator dla szerokiej klasy ciągów. 

In this paper, we follow our generalisation of the cancellation algorithm described in our previous paper [a. Tomski, m. Zakarczemny, On some cancellation algorithms, nnTDm. 23, 2017, p. 101–114]. for f being a natural-valued function defined on s s , ≥1 we remove the divisors of all possible values of f in the points in which the sum of coordinates is less than or equal to n. The least non-cancelled number is called the discriminator Df(n). We find formulas, or at least an estimation for this discriminator, in the case of a broad class of sequences. 

Definiujemy bf(n) jako najmniejszą d∈ℕ, taką że liczby f(n1 , n2 , ..., nm), gdzie n1+n2+ ... + nm ≤ n są niepodzielne przez d. Dla wybranych funkcji f : ℕm → ℕ znajdziemy wartości elementów ciągu (bf (n))n∈ℕ. lub podamy inną charakteryzacje. Dla funkcji f : ℕ2 (k, l)→k3+l3∈ℕ, Charakteryzacja ciągu (bf (n))n∈ℕ może być podana z użyciem wielomianów permutacyjnych skończonego, przemiennego, pierścienia ilorazowego ℤ/mℤ. W szczególnych przypadkach funkcji f podamy dolne i górne ograniczenia na wartości ciągu bf(n).

Niech n, m będą liczbami naturalnymi, takimi że n ≥ 2. Powiemy, że liczba całkowita a, (a, n) = 1, jest m-tą resztą kwadratową modulo n, jeśli istnieje liczba całkowita x, taka że xm ≡ a(mod n). Niech C(n) będzie grupą multiplikatywną zawierającą reszty modulo n, względnie pierwsze z n. Oznaczmy przez s(n, m, a) najmniejsze rozwiązanie równania xm ≡ a(mod n) w zbiorze C(n). Oznaczmy przez t(n, m, a) największe rozwiązanie równania xm ≡ a(mod n) w zbiorze C(n). Podamy górne oszacowanie na s(n, m, a) oraz dolne na t(n, m, a).